二分查找详解

二分查找看似简单,实则不简单。
正如Knuth大佬(发明KMP算法的那位)所说:Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky…
意思是:二分查找思路很简单,细节是魔鬼。

下面我们就来扣一下二分查找的细节,探究几个最常用的二分查找情景:寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。

二分查找模板

二分查找框架:

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//下面...即为细节处
int binarySearch(int[] nums, int target){
int left = 0;
int right = ...;
while(...){
int mid = ...;
if(nums[mid] == target){
...
}else if(nums[mid] < target){
left = ...
}else if(nums[mid] > target){
right = ...
}
}
return ...
}

分析二分查找的一个技巧是:不要出现 else,而是把所有情况用 else if 写清楚,这样可以清楚展现所有细节。本文都会使用 else if,旨在讲清楚,读者理解后可自行简化。
另外说明的是:计算mid时需要防止溢出,因为 left + right 这种两数相加结果是可能位数增加导致溢出的,所以改为 left + (right - left) / 2。
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应用场景1:寻找一个数

这个场景是最基本的二分查找,也是最简单,大家最熟悉的,即搜索一个数,如果存在,返回其索引,否则返回 -1.
代码如下:

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int binarySearch(int[] nums, int target){
int left = 0;
int right = nums.length -1;

while(left <= right){
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if(nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else if(nums[mid] > target)
right = mid - 1;
}
return -1;
}

1. 为什么 while 循环的条件是 <= , 而不是 < ?
因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1, 即最后一个元素的索引,而不是nums.length。
<= 和 < 可能处现在不同功能的二分查找中,区别是:前者是相当于两端都闭区间 [left, right],后者相当于左闭右开区间 [left, right),因为索引大小为 nums.length 是越界的。
我们使用的是 [left, right] 两端都闭的区间,我们不妨称之为 【搜索区间】。

什么时候应该停止搜索呢?当然,找到了目标值的时候可以终止:

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if(nums[mid] == target)
return mid;

但如果没找到,就需要 while 循环终止,然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止?搜索区间为空的时候应该终止,意味着你没得找了,就等于没找到嘛。

while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1, 写成区间的形式就是 [right + 1, right],或者带个具体的数字进去 [3, 2],可见这时候搜索区间为空,因为没有数字既大于等于 3 又小于等于2的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的,直接返回 -1 即可。

while(left < right)的终止条件是 left == right,写成区间的形式就是 [right, right],或者带个具体的数字进去 [2, 2],这时候搜索区间非空,还有一个数 2,但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2]被漏掉了,索引 2 没有被搜索到,如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。
当然,如果你非要用 while(left < right) 也可以,我们已经知道出错的原因,就打个补丁好了:

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//...
while(left < right){
//...
}
return nums[left] == target ? left : -1;

2. 为什么 left = mid + 1, right = mid - 1? 我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid, 没有这些加加减减,到底怎么回事,怎么判断?
这也是二分查找的一个难点,不过只要你能理解前面的内容,就能够很容易判断。
刚才明确了【搜索区间】的概念,而且本算法的搜索区间是两端都封闭的,即 [left, right] 。那么当我们发现索引mid不是要找的target时,如何确定下一步的搜索区间呢?
当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right]对不对?因为 mid 已经搜索过了,应该从搜索区间中去除。

3.此算法有什么缺陷?
至此,你应该已经掌握了该算法的所有细节,以及这样处理的原因。但是,这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3],target = 2,此算法返回的索引是 2,没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界,即索引 1,或者我想得到 target 的右侧边界,即索引 3,这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见。你也许会说,找到一个 target 索引,然后向左或向右线性搜索不行吗?可以,但是不好,因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就是来讨论这两种二分查找的算法。

应用场景2:寻找左侧边界

代码如下:

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int left_bound(int[] nums, int target){
if(nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length;

while(left < right){
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target){
right = mid;
}else if(nums[mid] < target){
left = mid + 1;
}else if(nums[mid] > target){
right = mid;
}
}
return left;
}

1.为什么 while(left < right)而不是 <= ?
用相同的方法分析,因为初始化 right = nums.length 而不是 nums.length – 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。
while(left < right) 终止的条件是 left == right,此时搜索区间 [left, left) 恰巧为空,所以可以正确终止。

2.为什么没有返回 -1 的操作?如果 nums 中不存在 target 这个值,怎么办?
因为要一步一步来,先理解一下这个 【左侧边界】的有什么特殊含义:

对于这个数组,算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读:nums 中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组 nums = [ 2, 3, 5, 7], target = 1, 算法会返回 0,含义是:nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8, 算法会返回 4,含义是:nums 中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出,函数的返回值(即 left 变量的值)取值区间 [0, nums.length],所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:

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while(left < right>{
//...
}
// target 比所有数都大
if(left == nums.length) return -1;
//类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;


3.为什么 left = mid + 1, right = mid ? 和之前的算法不一样?
这个很好解释,因为我们的【搜索区间】是 [left, right)左闭右开,所以当 nums[mid] 被检测后,下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间,即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。


4.为什么该算法能够搜索左侧边界?
关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理:

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if(nums[mid] == target)
right = mid;

可见,找到 target 时不要立即返回,而是缩小 【搜索区间】的上界 right,在区间 [left, mid]中继续搜索,即不断向左搜索,达到锁定左侧边界的目的。

5.为什么返回 left 而不是 right ?
都是一样的,因为 while 终止的条件是 left = right。

应用场景3:寻找右侧边界

代码如下:

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int right_bound(int[] nums, int target){
if(nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;

while(left < right){
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target){
left = mid + 1;
}else if(nums[mid] < target){
left = mid + 1;
}left if(nums[mid] > target){
right = mid;
}
}
return left - 1;
}

1.为什么这个算法能找到右侧边界?
类似地,关键点还是这里:

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if(nums[mid] == target){
left = mid + 1;

当 nums[mid] == target 时,不要立即返回,而是增大 【搜索区间】的下界 left,使得区间不断向右收缩,达到锁定右侧边界的目的。

2.为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数,返回 left? 而且我觉得这里既然是搜索右侧边界,应该返回 right 才对。
首先,while 循环的终止条件是 left == right,所以 left 和 right 是一样的,你非要体现右侧的特点,返回 right - 1好了。
至于为什么要减一,这是搜索右侧边界的一个特殊点,关键在这个条件判断:

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if(nums[mid] == target){
left = mid + 1;
//这样想:mid = left -1


因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1,就是说 while 循环结束时,nums[left] 一定不等于 target 了,而 nums[left -1]可能是 target。
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1,同左侧边界搜索,就不再赘述。


3.为什么没有返回 -1 的操作?如果 nums 中不存在 target 这个值,怎么办?
类似之前的左侧边界搜索,因为 while 的终止条件是 left == right,就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length],所以可以添加两行代码,正确的返回 -1:

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while(left < right){
//...
}
if(left == 0) return -1;
return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1;

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总结

先来梳理下这些细节差异的因果逻辑:
第一个,最基本的二分查找算法:

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的【搜索区间】是 [left, right]
所以决定了 while(left <= right)
同时也决定了 left = mid + 1和 right = mid - 1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个,寻找左侧边界的二分查找

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的【搜索区间】是 [left, right)
所以决定了 while(left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需要找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

第三个,寻找右侧边界的二分查找:

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的【索索区间】是 [left, right]
所以决定了 while(left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right,必须减一


如果以上内容你都能理解,那么恭喜你,二分查找的细节不过如此。
通过本文,你学会了:

  1. 分析二分查找代码时,不要出现 else,全部展开为 else if 方便理解。
  2. 注意【搜素区间】和 while的终止条件,如果存在漏掉的元素,记得在最后检查。
  3. 如需要搜索左右边界,只需要在 nums[mid] == target时做修改即可。搜索左侧时需要减一。

参考文档:

  1. https://www.cxyxiaowu.com/2843.html